Câu 15: trang 15 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2Giải hệ phương trình...

Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (a^{2}+1)x+6y=2a & \end{matrix}\right.$, ta thực hiện các bước sau:

a. Với $a = -1$:
Thay $a = -1$ vào hệ phương trình ta được:
$\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ 0x+6y=-2 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ 6y=-2 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ y=\frac{-2}{6} & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ y=-\frac{1}{3} & \end{matrix}\right.$

Hệ này vô nghiệm vì đường thẳng biểu diễn hai phương trình trong hệ là song song.

b. Với $a = 0$:
Thay $a = 0$ vào hệ phương trình ta được:
$\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (0^{2}+1)x+6y=0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ x+6y=0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=1-3y & \\ x=-6y & \end{matrix}\right.$

Thế $x=-6y$ vào $x=1-3y$ ta được: $-6y=1-3y$, suy ra $y=-\frac{1}{3}$. Thay $y=-\frac{1}{3}$ vào $x=1-3y$ ta được $x=2$.

Vậy hệ này có nghiệm duy nhất là $(2, -\frac{1}{3})$.

c. Với $a = 1$:
Thay $a = 1$ vào hệ phương trình ta được:
$\left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ (1^{2}+1)x+6y=2 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ 2x+6y=2 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+3y=1 & \\ x+3y=1 & \end{matrix}\right.$

Hai phương trình trong hệ là tương đương, vậy hệ này có vô số nghiệm.

Vậy, kết quả là:
a. Với $a = -1$ hệ vô nghiệm.
b. Với $a = 0$ hệ có nghiệm duy nhất $(2, -\frac{1}{3})$.
c. Với $a = 1$ hệ có vô số nghiệm.