3.Cho đường tròn (C) tâm F1, bán kính r và một điểm F2thoả mãn F1F2= 4ra) Chứng...

a) Phương pháp giải:
- Gọi (C'; r') là đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C); I(x; y) là tâm của đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C).
- Vì F2 nằm ngoài (C) nên (C') có thể tiếp xúc ngoài với (C) hoặc tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C').
1. Trường hợp (C') tiếp xúc ngoài với (C):
- Từ F1F2 = 4r, ta có IF1 – IF2 = r.
- Do đó, ta luôn có |IF2 – IF1| = r trong cả hai trường hợp.
- Như vậy, I nằm trên hyperbol có hai tiêu điểm là F1, F2 và độ dài trục thực là r.
2. Trường hợp (C') tiếp xúc trong với (C) và (C) nằm trong (C'):
- Tương tự, ta cũng sẽ suy ra I nằm trên hyperbol có hai tiêu điểm là F1, F2 và độ dài trục thực là r.

b) Phương pháp giải:
- Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với trung điểm của F1F2 và F1, F2 đều nằm trên trục Ox.
- Giả sử phương trình chính tắc của hyperbol này là $\frac{x^2}{a^2}$ - $\frac{y^2}{b^2}$ = 1 (a > 0, b > 0).
- Khi đó ta có 2a = r, suy ra a = $\frac{r}{2}$.
- Với F1F2 = 4r, suy ra c = 2r, từ đó suy ra $b^2$ = $\frac{15r^2}{4}$.
- Vậy phương trình chính tắc của hyperbol này là $\frac{x^2}{\frac{r}{2}}$ - $\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}$ = 1.

Đáp án:
a) Tâm của các đường tròn đi qua F2 và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hyperbol.
b) Phương trình chính tắc của hyperbol là $\frac{x^2}{\frac{r}{2}}$ - $\frac{y^2}{\frac{15r^2}{4}}$ = 1, tâm sai của hyperbol là (0, 0) với trục trục là Ox.