55.Lập phương trình đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn...

Phương trình đường tròn $(C)$ có tâm I(-2; 3) và bán kính R = 2.

a) Để lập phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc (C) tại điểm có tung độ bằng 3, ta cần tìm 2 điểm tiếp xúc (M và N). Ta tính hoành độ của M và N như sau:
$(x+2)^{2} + (3-3)^{2} = 4 \Rightarrow x=0$ hoặc $x=-4$

Suy ra, ta có 2 điểm M(0; 3) và N(-4; 3). Vectơ pháp tuyến của đường thẳng IM là: $\overrightarrow{IM} = (2;0)$. Phương trình đường thẳng IM là: $2(x-0) = 0$ hay $x=0$.
Tương tự, vectơ pháp tuyến của đường thẳng IN là: $\overrightarrow{IN} = (-2; 0)$. Phương trình đường thẳng IN là: $-2(x+4) = 0$ hay $x+4=0$.

Vậy phương trình đường thẳng $\Delta$ là $x=0$ hoặc $x+4=0$.

b) Để $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $5x-12y+1=0$, ta giả sử phương trình $\Delta$ có dạng $12x+5y+c=0$.
Khoảng cách từ I đến $\Delta$ bằng R nên ta có phương trình: $\left|12(-2) + 5(3) + c\right| / \sqrt{12^2 + 5^2} = 2 \Rightarrow c=35$ hoặc $c=-17$.

Với $c=35$, phương trình tiếp tuyến là: $12x+5y+35=0$. Với $c=-17$, phương trình tiếp tuyến là: $12x+5y-17=0$.

c) Đặt H(a; b) là tiếp điểm. Do D(0; 4) thuộc $\Delta$, ta có DH vuông góc với IH và IH = R = 2.
Từ đó, suy ra hệ phương trình:
$\begin{cases} a^2+4a+b^2-6b+9=4 \\ a^2+2a+b^2-7b+12=0 \end{cases}$

Giải hệ phương trình trên, ta tìm ra các giá trị của a và b. Khi a=0, b=3, ta có H(0; 3). Phương trình tiếp tuyến khi đó sẽ là: $2(x-0)=0 \Rightarrow x=0$.

Khi $a=-\frac{4}{5}$ và $b=\frac{23}{5}$, ta tìm được H($-\frac{4}{5}$; $\frac{23}{5}$). Phương trình tiếp tuyến là: $3(x-0)+4(y-4)=0 \Rightarrow 3x+4y-16=0$.

Vậy, phương trình đường thẳng $\Delta$ thỏa mãn yêu cầu là $x=0$ hoặc $3x+4y-16=0$.