57.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:$\Delta 1:x+y+1=0,\Delta 2:3x+4y+20=...

Để giải bài toán này, ta cần tính khoảng cách từ tâm I của đường tròn (C) đến từng đường thẳng đã cho. Sau đó so sánh khoảng cách này với bán kính của đường tròn để xác định vị trí tương đối của các đường thẳng đối với đường tròn (C).

Đường tròn (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 3.

1. Đường thẳng Δ1:
- Tính khoảng cách từ tâm I đến Δ1:
$d(I,\Delta 1) = \frac{|-3+1+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 3$
=> Đường thẳng Δ1 cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt.

2. Đường thẳng Δ2:
- Tính khoảng cách từ tâm I đến Δ2:
$d(I,\Delta 2) = \frac{|3\times (-3)+4\times 1+20|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} = \frac{15}{5} = 3 = R$
=> Đường thẳng Δ2 tiếp xúc với đường tròn (C).

3. Đường thẳng Δ3:
- Tính khoảng cách từ tâm I đến Δ3:
$d(I,\Delta 3) = \frac{|2\times (-3)-1+50|}{\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{43}{\sqrt{5}} > 3$
=> Đường thẳng Δ3 không có điểm chung với đường tròn (C).

Vậy vị trí tương đối của các đường thẳng Δ1, Δ2, Δ3 đối với đường tròn (C) là:
- Δ1 cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.
- Δ2 tiếp xúc với đường tròn.
- Δ3 không có điểm chung với đường tròn.