Bài 39.Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D là trung điểm của BC, vẽ CM vuông góc với AB tại M,...

Vì AB = AC và D là trung điểm của BC nên tam giác ABC là tam giác cân. Khi đó, ta có CM song song với BN và AM chính là đường trung bình của tam giác ABC nên AM = AN.

Gọi O là giao điểm của AM và BC, ta có tam giác AOB và ACD đồng dạng với nhau do có 2 góc nội tiếp bằng nhau. Từ đó suy ra AO/AB = AD/AC = OM/BC. Mà OM = CM và BC = 2*CM nên AO/AB = 1/2 = AM/AB. Vậy AM = AN.

Kẻ BN cắt AC tại K, ta có tam giác ABK và ACD đồng dạng với nhau do có 2 góc nội tiếp bằng nhau. Từ đó suy ra AB/AK = AD/AC = AB/KC. Mà AK = AN và KC = 2*AN nên AB/AN = 1/2 = AM/AB. Vậy AM = AN.

Gọi I là giao điểm của AB và CD, ta có tam giác AIC và BDI đồng dạng với nhau do có 2 góc nội tiếp bằng nhau. Từ đó suy ra AI/AB = AD/BD = CI/CD. Mà CI = CM và CD = 2*CM nên AI/AB = 1/2 = AN/AB. Vậy AM = AN.

Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, ta có tam giác ACD và ABC đồng dạng với nhau do có cạnh chung AC và góc ACD = góc ABC. Từ đó suy ra AM/AB = AD/AC = AN/AB. Vậy AM = AN.