Bài 41.Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và $\widehat{A}=60^{\circ}$. Tia phân giác của góc...

{
"content1": "Ta có \(\angle A = 60^\circ\) và BD là tia phân giác của \(\angle ABC\). Do đó, \(\angle ABD = \frac{1}{2} \angle ABC = 30^\circ\). Tương tự, ta có \(\angle ACB = 60^\circ\) và CE là tia phân giác của \(\angle ACB\), nên \(\angle ACE = \frac{1}{2} \angle ACB = 30^\circ\). Khi đó, \(\angle EBD = 90^\circ - \angle ABD = 60^\circ\) và \(\angle DCE = 90^\circ - \angle ACE = 60^\circ\). Vậy ta có \(\angle EBD = \angle DCE = 60^\circ\), từ đó suy ra \(\Delta BED\) và \(\Delta CDE\) đều là tam giác đều.",
"content2": "Gọi G là giao điểm của BD và CE. Ta có \(\angle BGI = \angle BGD + \angle IGD = \angle BGD + \angle EGD = \angle BED + \angle EBD = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\). Vì vậy, \(\angle BIC = 180^\circ - \angle BGI = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\), suy ra \(\angle BIC = 120^\circ\).",
"content3": "Gọi M là điểm trên tia phân giác của \(\angle BIC\) sao cho BM cắt DE tại M. Ta có \(\angle EBM = \angle CBM = \frac{1}{2} \angle CBI = 30^\circ\) và \(\angle BME = \angle BDE = 30^\circ\). Từ đó, ta thấy \(\Delta BEM\) là tam giác đều. Tương tự, ta có \(\Delta CDM\) là tam giác đều. Điều này suy ra \(\Delta BEI = \Delta BEM\) và \(\Delta BFI = \Delta CDM\).",
"content4": "Kẹp 2 điểm H và K trên BC sao cho BH = BE và CK = CD. Ta có \(\angle BHE = \angle BEH = 60^\circ\). Do đó, tam giác BHE là tam giác đều. Tương tự, tam giác CKD cũng là tam giác đều. Khi đó, ta có BC = BH + CK = BE + CD.",
"content5": "Đặt x = BC, y = BE, z = CD. Theo định lý phân đôi đường cao trong tam giác, ta có \(\frac{BD}{DC} = \frac{BE}{CE} \Rightarrow \frac{z}{x-z} = \frac{y}{x-y} \Rightarrow yz = xy - y^2 - xz + yz \Rightarrow x = y + z\). Vậy ta chứng minh được BC = BE + CD."
}