Bài 42*.CHo tam giác ABC có $\widehat{A}=90^{\circ}$, M là trung điểm của BC. Chứng minh BC =...

{
"content1": "Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có AM là đường cao của tam giác ABC. Do đó, theo định lí đường cao trong tam giác vuông, ta có AM là đường cao của tam giác ABC và BC là cạnh huyền của tam giác ABC nên ta có: $BC = 2AM$.",
"content2": "Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Khi đó, ta có $\Delta ABH \sim \Delta AMC$ (theo ĐT tỉ số giữa các cạnh của tam giác vuông), suy ra $\frac{AB}{AM}=\frac{AH}{AC}$. Nhưng $\frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên ta suy ra $BC = 2AM$.",
"content3": "Ta có $BM = MC = \frac{BC}{2}$ (do M là trung điểm của BC). Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác ABC vuông tại A, ta có $AB^2 + AC^2 = BC^2$. Thay AM bằng $BM = \frac{BC}{2}$ ta được $AB^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = \left(\frac{BC}{2}\right)^2$. Giải phương trình ta có $BC = 2AM$.",
"content4": "Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có $AM = \frac{AB \cdot AC}{BC}$. Ta có AM là đường cao trong tam giác ABC nên $S_{ABC} = \frac{BC \cdot AM}{2} = \frac{BC^2}{4}$. Tương tự, ta có $S_{ABC} = \frac{AB \cdot AC}{2}$. Từ đó suy ra $BC = 2AM$.",
"content5": "Khi kẻ đường cao AH từ đỉnh A xuống BC, ta được 2 tam giác vuông ABH và ACM. Vì $\widehat{A} = 90^{\circ}$ nên $\Delta ABH \sim \Delta AMC$. Từ đó suy ra $\frac{AB}{AM} = \frac{AH}{AC}$ hoặc $\frac{AB}{AC} = \frac{AM}{AH}$. Nhưng $\frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên ta có $BC = 2AM$.",
"content6": "Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Từ đó ta có 2 tam giác đều ABH và ACM. Vì $\widehat{A} = 90^{\circ}$ nên $\Delta ABH \sim \Delta AMC$ và lấy tỉ số ta được $\frac{AB}{AM} = \frac{AH}{AC}$. Nhưng $\frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ nên ta suy ra $BC = 2AM$."
}