Bài 50.Cho tam giác đều ABC. Gọi E, D, F là ba điểm lần lượt nằm trên ba cạnh AB, AC, BC sao...

Gọi O là giao điểm của BF và CE. Ta có AO song song với BC (vì tứ giác ACFE là hình bình hành), do đó, ta có góc AOB = góc ABC = 60 độ. Tương tự, ta có góc COB = góc ACB = 60 độ và góc AOC = góc BAC = 60 độ. Khi đó, ta có tứ giác ABOC là hình thoi. Vậy ta có BO = OC. Do đó, ta suy ra tam giác DEF là tam giác đều với góc D = 60 độ.

Gọi I là trung điểm của cạnh AC, ta có AI = IC. Xét tam giác ACF có AI = IC và AF = CF nên tam giác ACF là tam giác đều. Do đó, ta có góc AFC = 60 độ. Tương tự, ta có góc AEB = 60 độ. Khi đó, tứ giác AEIB là hình thoi với góc EIB = 60 độ và AI = IB. Từ đó, ta suy ra tam giác DEF là tam giác đều vì có 3 góc bằng nhau.

Gọi G là trung điểm của cạnh AB, ta có AG = GB. Khi đó, tứ giác AGBE là hình bình hành với AG = BE và G là trung điểm của AE. Tương tự, ta có tứ giác ACDF là hình bình hành với AC = DF và D là trung điểm của AF. Do đó, ta có AG = GB = BE = AE và AC = CD = DF = AF. Kết hợp với điều kiện AD = CF = BE, ta suy ra tam giác DEF là tam giác đều.