Bài 59.Cho tam giác ABC có $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ nhọn. H và K lần lượt là hình chiếu...

Để chứng minh phần a), ta có:
Gọi E là giao điểm của BC và HK.
Dễ thấy tam giác AHB và tam giác AEC đồng dạng nên $\frac{BH}{BE}=\frac{AH}{AE}$
Tương tự, tam giác AKC và tam giác AEB đồng dạng nên $\frac{CK}{CE}=\frac{AK}{AE}$
Do đó, $BH\leq BE$ và $CK\leq CE$ nên $BH + CK\leq BE+CE=BC$
Để chứng minh phần b), giả sử tổng BH + CK lớn nhất thì BH = BE, CK = CE.
Do đó, ta có tam giác ABE và AEC đồng dạng nên $\frac{AH}{AE} = \frac{BH}{BE}=1$ suy ra AH = AE.
Tương tự, ta có tam giác AKE và AEB đồng dạng nên $\frac{AK}{AE} = \frac{CK}{CE}=1$ suy ra AK = AE.
Ta có AE = AH + HK + KE = AK + EK = AE + EK $\Rightarrow$ HK = EK.
Vậy, ta có tam giác AHK cân tại H, từ đó suy ra Ax vuông góc với BC.