Bài 87.Cho tam giác đều ABC có I là điểm cách đều ba cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng I cách...

Để chứng minh rằng I cách đều ba đỉnh của tam giác đều ABC và cũng là trọng tâm của tam giác, ta sử dụng phương pháp sau:

Gọi E, K, H lần lượt là giao điểm của các đường vuông góc kẻ từ I đến AB, BC, AC.

Xét tam giác vuông AIE và AIH:
- Ta có AI chung, IE = IH (theo tính chất của hình vuông).
- Suy ra tam giác AIE = tam giác AIH (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- Từ đó, ta có $\widehat{IAE} = \widehat{IAH}$.
- Do đó, AI là tia phân giác góc A.

Tương tự, ta có:
- $\Delta CIH = \Delta CIK$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- $\widehat{ICH} = \widehat{ICK}$.
- BI là tia phân giác góc B.
- $\Delta BIK = \Delta BIE$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- $\widehat{IBK} = \widehat{IBE}$.
- CI là tia phân giác góc C.

Từ đây, I là giao điểm của ba tia phân giác, do đó I là trọng tâm của tam giác và cách đều ba đỉnh của tam giác ABC (vì tam giác ABC đều).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng I cách đều ba đỉnh và cũng là trọng tâm của tam giác ABC.