Bài 90. Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{BAC}=120^{\circ}$. Đường trung trực của các cạnh AB...

a) Để chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE, ta có các bước như sau:
- Gọi K là trung điểm của BC, từ đó suy ra AK là đường trung trực của BC.
- Xét tam giác ABC cân tại A, suy ra A, K, I thẳng hàng với nhau và do đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I, nên K, I cũng thẳng hàng với A và K.
- Xét tam giác vuông BQD và CPE, ta có BQ = CP và $\widehat{QBD} = \widehat{PCE}$, từ đó suy ra tam giác BQD = tam giác CPE (theo trường hợp cạnh góc cạnh).
- Khi đó, ta có BD = EC và BK = KC, suy ra DK = KE.
Vậy từ các bước trên, ta chứng minh được điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Do IA = IB = IC, nên đường tròn tâm I bán kính IA sẽ đi qua các điểm A, B, C.

c) Tính số đo các góc của tam giác IBC:
- Ta đã chứng minh được tam giác IBC cân tại I với $\widehat{IBC} = \widehat{ICB} = 30^{\circ}$.
- Từ đó, ta có $\widehat{BIC} = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}$.

Vậy số đo các góc của tam giác IBC là $\widehat{IBC} = \widehat{ICB} = 30^{\circ}$ và $\widehat{BIC} = 120^{\circ}$.