Bài 97.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC, đường phân giác BD. Vẽ DE vuông góc với BC...

a) Phương pháp giải:
Gọi K là giao điểm của BD và AE.
Xét tam giác vuông BAD và BAE, ta có:
BD chung
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$
Suy ra $\Delta BAD=\Delta BAE$ (cạnh huyền - góc nhọn) nên BA = BE.
Tam giác BAE cân tại B và BK là tia phân giác, suy ra BK vuông góc với AE.
Do BK là đường cao của tam giác BAE và B, K, D thẳng hàng nên trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD.

b) Phương pháp giải:
Ta có:
$\widehat{ADE}=180^{\circ}-\widehat{ABE}$
Với $\widehat{ABE}<90^{\circ}$ suy ra $\widehat{ADE}>90^{\circ}$.
Do góc ADE là góc từ nên trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó.

c) Phương pháp giải:
Tam giác BAE có trực tâm H vừa là trực tâm vừa tâm cách đều các đỉnh, suy ra tam giác BAE là tam giác đều.
Do đó, $\widehat{ABE}=60^{\circ}$ hay $\widehat{ABC}=60^{\circ}$.
Vậy điều kiện để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE là tam giác vuông ABC phải có $\widehat{ABC}=60^{\circ}$.

Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn:
a) Trực tâm H của tam giác BAE nằm trên đường thẳng BD vì tam giác BAE cân tại B và BK là tia phân giác, suy ra BK vuông góc với AE và H là trực tâm của tam giác BAE nên nằm trên đường thẳng BD.
b) Trực tâm của tam giác DAE nằm ngoài tam giác đó vì $\widehat{ADE}>90^{\circ}$.
c) Điều kiện để H cách đều các đỉnh của tam giác BAE là tam giác ABC phải là tam giác đều có $\widehat{ABC}=60^{\circ}$.