Bài tập 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh...
Câu hỏi:
Bài tập 2. Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:
a. $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = 2$\vec{MN}$
b. $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{BC}$ + $\vec{AD}$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Dung
a. Cách làm:- Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD.- Ta có: $\vec{MA}$ + $\vec{MB}$ = $\vec{0}$ (M là trung điểm của AB); $\vec{NC}$ + $\vec{ND}$ = $\vec{0}$ (N là trung điểm của CD).- Vậy $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{MC}$ - $\vec{MA}$ + $\vec{MD}$ - $\vec{MB}$ = $\vec{MC}$ + $\vec{MD}$ - ($\vec{MA}$ + $\vec{MB}$) = $\vec{MC}$ + $\vec{MD}$ = $\vec{MN}$ + $\vec{NC}$ + $\vec{MN}$ + $\vec{ND}$ = 2$\vec{MN}$ (đpcm)b. Cách làm:- Giả sử: $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{BC}$ + $\vec{AD}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{AC}$ - $\vec{BC}$ = $\vec{AD}$ - $\vec{BD}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{CB}$ - $\vec{CA}$ = $\vec{DB}$ - $\vec{DA}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{AB}$ = $\vec{AB}$ (luôn đúng)- Vậy $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{BC}$ + $\vec{AD}$Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn:a. Sử dụng tính chất trung điểm, ta có $\vec{MA}$ + $\vec{MB}$ = $\vec{0}$ và $\vec{NC}$ + $\vec{ND}$ = $\vec{0}$.Suy ra $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{MC}$ - $\vec{MA}$ + $\vec{MD}$ - $\vec{MB}$ = $\vec{MC}$ + $\vec{MD}$ = 2$\vec{MN}$.Vậy $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = 2$\vec{MN}$.b. Giả sử $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{BC}$ + $\vec{AD}$.Khi đó, $\vec{AC}$ - $\vec{BC}$ = $\vec{AD}$ - $\vec{BD}$$\Rightarrow$ $\vec{CB}$ - $\vec{CA}$ = $\vec{DB}$ - $\vec{DA}$$\Rightarrow$ $\vec{AB}$ = $\vec{AB}$ (luôn đúng).Vậy $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{BC}$ + $\vec{AD$.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng...
- Bài tập 3. Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho$\vec{MA}$ + $4\vec{MB}$...
- Bài tập 4. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy...
- Bài tập 5. Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang...
- Bài tập 6. Cho hai điểm phân biệt A và B.a. Xác định điểm O sao cho$\vec{OA}$ + 3$\vec{OB}$...
- Bài tập 7. Cho tam giác ABC.a. Xác định điểm M, N thảo mãn$\vec{MB}$ =...
{ "content1": "Để chứng minh phần a: Ta có $\vec{AC}$ = $\vec{AM}$ + $\vec{MC}$ và $\vec{BD}$ = $\vec{BN}$ + $\vec{ND}$", "content2": "Vậy $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{AM}$ + $\vec{MC}$ + $\vec{BN}$ + $\vec{ND}$", "content3": "Nhưng ta biết rằng $\vec{MN}$ = $\frac{1}{2}$($\vec{AC}$ + $\vec{BD}$)", "content4": "Nên thay vào biểu thức trên ta có $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = 2$\vec{MN}$", "content5": "Để chứng minh phần b: Ta có $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{AM}$ + $\vec{MC}$ + $\vec{BN}$ + $\vec{ND}$", "content6": "Nhưng ta biết rằng $\vec{BC}$ = $\vec{BN}$ + $\vec{NC}$ và $\vec{AD}$ = $\vec{AM}$ + $\vec{MD}$, nên thay vào biểu thức trên ta có $\vec{AC}$ + $\vec{BD}$ = $\vec{BC}$ + $\vec{AD}$"}