Bài tập 5. Cho đường tròn (C) có phương trình $x^{2} + y^{2} - 8x - 2y - 15 = 0$a) Chứng tỏ rằng...

Để giải câu hỏi trên, ta thực hiện các bước như sau:

a) Để chứng minh điểm A(0; 5) thuộc đường tròn (C), ta thay vào phương trình đường tròn:
$0^{2} + 5^{2} - 8*0 - 2*5 - 15 = 0$
$\Leftrightarrow 0 + 25 - 0 - 10 - 15 = 0$
$\Leftrightarrow 0 = 0$
Vậy ta có điểm A(0; 5) thỏa mãn phương trình đường tròn (C).

b) Ta có tâm I(3; 1) và bán kính R = 5.
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(0; 5) là:
$(3 - 0)(x - 0) + (1 - 5)(y - 5) = 0$
$\Leftrightarrow 3x - 4y + 20 = 0$

c) Để viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng $8x + 6y + 99 = 0$, ta xác định hệ số góc của tiếp tuyến là $-\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$.
Ta có điểm I(3, 1), bán kính R = 5 và phương trình đường thẳng đã cho.
Đặt phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng đã cho là $4x + 3y + c = 0$.
Ta có $d(I, d) = R$:
$\Rightarrow \frac{|8 . 3 + 6 . 1 + c|}{8^{2} + 6^{2}} = 5$
$\Rightarrow \frac{|24 + 6 + c|}{64 + 36} = 5$
$\Rightarrow \frac{|30 + c|}{100} = 5$
$\Rightarrow |30 + c| = 500$
$\Rightarrow 30 + c = 50$ hoặc $30 + c = -50$
$\Rightarrow c = 20$ hoặc $c = -80$
Vậy phương trình tiếp tuyến là $4x + 3y + 20 = 0$ hoặc $4x + 3y - 80 = 0$

Như vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) Điểm A(0; 5) thuộc đường tròn (C)
b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm A(0; 5) là $3x - 4y + 20 = 0$
c) Phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng $8x + 6y + 99 = 0$ là $4x + 3y + 20 = 0$ hoặc $4x + 3y - 80 = 0"