Bài tập 7. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn:$\vec{KA}$...
Câu hỏi:
Bài tập 7. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a và ba điểm G, H, K thỏa mãn: $\vec{KA}$ + $\vec{KC}$ = $\vec{0}$; $\vec{GA}$ + $\vec{GB}$ + $\vec{GC}$ = $\vec{0}$; $\vec{HA}$ + $\vec{HD}$ + $\vec{HC}$ = $\vec{0}$. Tính độ dài các vectơ $\vec{KA}$, $\vec{GH}$, $\vec{AG}$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Đức
Để giải bài toán trên, ta cần sử dụng các định lí về trung điểm, trọng tâm trong hình học học học và công thức tính độ dài của vectơ.Cách làm:1. Với $\vec{KA} + \vec{KC} = \vec{0}$, ta suy ra K là trung điểm của AC. Do đó, ta có $| \vec{KA} | = AK = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.2. Với $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC} = \vec{0}$ và $\vec{HA} + \vec{HD} + \vec{HC} = \vec{0}$, suy ra G và H lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác ACD.3. Tính GH bằng cách sử dụng tính chất của trọng tâm: GH = HK + KG = $\frac{1}{3}$DK + $\frac{1}{3}$KB = $\frac{1}{3}$BD = $\frac{\sqrt{2}a}{3}$. Tính $|\vec{GH}| = \frac{\sqrt{2}a}{3}$.4. Tính độ dài AM bằng cách sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: AM = $\sqrt{AB^{2} + BM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}a$. Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, nên AG = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}a = \frac{\sqrt{5}}{3}a$. Do đó, $|\vec{AG}| = AG = \frac{\sqrt{5}}{3}a$.Vậy ta đã tính được độ dài của các vectơ $\vec{KA}$, $\vec{GH}$ và $\vec{AG}$.Câu trả lời: $|\vec{KA}| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$, $|\vec{GH}| = \frac{\sqrt{2}a}{3}$ và $|\vec{AG}| = \frac{\sqrt{5}}{3}a$.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 1. Cho hình bình hành ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo và một điểm M tùy ý. Chứng...
- Bài tập 2. Cho tứ giác ABCD, thực hiện các phép cộng và trừ vectơ sau:a. $\vec{AB}$...
- Bài tập 3. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài của các vectơ:a. $\vec{BA}$...
- Bài tập 4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh rằng:a. $\vec{OA}$...
- Bài tập 5. Cho ba lực$\vec{F_{1}}$ =$\vec{MA}$,$\vec{F_{2}}$ =$\vec{MB}$...
- Bài tập 6. Khi máy bay nghiêng cánh một góc $\alpha$, lực$\vec{F}$ của không khí tác động...
- Bài tập 8. Một con tàu có vectơ vận tốc chỉ theo hướng nam, vận tốc của dòng nước là một vectơ theo...
{ "1": "Để giải bài toán này, ta cần vẽ hình vuông ABCD và các điểm G, H, K theo yêu cầu của đề bài.", "2": "Sau đó, áp dụng thuộc tính của vectơ để giải hệ phương trình đã cho.", "3": "Từ hệ phương trình $\vec{KA}$ + $\vec{KC}$ = $\vec{0}$, suy ra $\vec{KA}$ = -$\vec{KC}$.", "4": "Tương tự, từ hệ phương trình $\vec{GA}$ + $\vec{GB}$ + $\vec{GC}$ = $\vec{0}$, ta có $\vec{GA}$ + $\vec{GC}$ = -$\vec{GB}$.", "5": "Cuối cùng, tính độ dài các vectơ $\vec{KA}$, $\vec{GH}$, $\vec{AG}$ bằng cách áp dụng công thức độ dài của vectơ và tính toán theo định lý Pythagore."}