Giải bài tập 1 Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác

Bài tập 1. Cho tam giác $ABC$ có $AB=3,5 ; AC=7,5 ; \widehat{A}=135^{\circ}$. Tính độ dài cạnh $BC$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài tập 2. Cho tam giác $A B C$ có $\widehat{B}=75^{\circ}, \widehat{C}=45^{\circ}$ và $B C=50$. Tính độ dài cạnh $A B$.

Bài tập 3. Cho tam giác $A B C$ có $A B=6, A C=7, B C=8$. Tính $\cos A, \sin A$ và bán kính $R$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$.

Bài tập 4. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):

a. $A=\cos 0^{\circ}+\cos 40^{\circ}+\cos 120^{\circ}+\cos 140^{\circ}$;

b. $B=\sin 5^{\circ}+\sin 150^{\circ}-\sin 175^{\circ}+\sin 180^{\circ}$;

c. $C=\cos 15^{\circ}+\cos 35^{\circ}-\sin 75^{\circ}-\sin 55^{\circ}$;

d. $D=\tan 25^{\circ} \cdot \tan 45^{\circ} \cdot \tan 115^{\circ}$;

e. $E=\cot 10^{\circ} \cdot \cot 30^{\circ} \cdot \cot 100^{\circ}$.

Bài tập 5. Cho tam giác $A B C$. Chứng minh:

a. $\sin \frac{A}{2}=\cos \frac{B+C}{2}$;

b. $\tan \frac{B+C}{2}=\cot \frac{A}{2}$.

Bài tập 6. Để đo khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ ở hai bên bờ một cái ao, bạn An đi dọc bờ ao từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ và tiến hành đo các góc $B A C, B C A$. Biết $A C=25 \mathrm{~m}$, $\widehat{B A C}=59,95^{\circ}, \widehat{B C A}=82,15^{\circ}$ (Hình 16). Hỏi khoảng cách từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Bài tập 7. Hai tàu đánh cá cùng xuất phát từ bến $A$ và đi thẳng đều về hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng tạo với nhau góc $75^{\circ}$. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 8 hải lí một giờ và tàu thứ hai chạy với tốc độ 12 hải lí một giờ. Sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là bao nhiêu hải lí (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Bài tập 8. Bạn $A$ đứng ở nóc của toà nhà và quan sát chiếc diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiêng giữa phương từ mắt của bạn $A$ tới chiếc diều và phương nằm ngang) là $\alpha=35^{\circ}$, khoảng cách từ nóc toà nhà tới mắt bạn $A$ là $1,5 \mathrm{~m}$. Cùng lúc đó ở dưới chân toà nhà, bạn $B$ cũng quan sát chiếc diều và thấy góc nâng là $\beta=75^{\circ}$; khoảng cách từ mặt đất đến mắt bạn $B$ cũng là $1,5 \mathrm{~m}$. Biết chiều cao của toà nhà là $h=20 \mathrm{~m}$ (Hình 17). Chiếc diều bay cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?