Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 1 Đạo hàm

Câu hỏi mở đầu

Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mối liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi thời điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?

1. Đạo hàm

Khám phá 1 trang 37 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức $s(t) = 4,9t^{2}$ với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét

Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5; t] hoặc [t; 5] được tính bằng công thức $\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$

a) Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về $\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$ khi t càng gần 5

b) Giới hạn $\lim_{t \to 5}\frac{s(t)-s(5)}{t-5}$ được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_{0}=5$. Tính giá trị này

c) Tính giới hạn $\lim_{t \to t_{0}}\frac{s(t)-s(t_{0})}{t-t{0}}$ để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_{0}$ nào đó trong quá trình rơi của vật

Thực hành 1 trang 39 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^{3}$

Vận dụng trang 39 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Với tình huống trong Khám phá 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Khám phá 2 trang 39 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hàm số $y = f(x) = \frac{1}{2}x^{2}$ có đồ thị (C) và điểm $M(1;\frac{1}{2})$ thuộc (C)

a) Vẽ (C) và tính f'(1)

b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bằng f'(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C)

Thực hành 2 trang 40 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho (C) là đồ thị của hàm số $f(x) =\frac{1}{x}$ và điểm $M(1;1) \in (C)$. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M và viết phương trình tiếp tuyến đó

3. Số e

Khám phá 3 trang 40 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền A triệu đồng (gọi là vốn) với lãi suất r/năm theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn dược cộng gộp vào vốn). Tính tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi nếu kì hạn là:

a) một năm

b) một tháng

Lưu ý: Nếu một năm được chia thành n kì hạn $(n \in N^{*})$ thì lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r}{n}$

Thực hành 3 trang 41 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6%/năm và theo thể thức lãi kép liên tục. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau:

a) 1 ngày

b) 30 ngày

Bài tập

Bài tập 1 trang 41 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Dùng định nghĩ để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $f(x) = -x^{2}$

b) $f(x)=x^{3}-2x$

c) $f(x) =\frac{4}{x}$

Bài tập 2 trang 41 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hàm số $f(x) = -2x^{2}$ có đồ thị (C) và điểm $A(1;-2) \in (C)$. Tính hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A.

Bài tập 3 trang 42 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^{3}$

a) Tại điểm (-1;1)

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài tập 4 trang 42 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s(t) = 4t^{3} +6t+2$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2

Bài tập 5 trang 42 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức

a) lãi kép với kì hạn 6 tháng

b) lãi kép liên tục

Bài tập 6 trang 42 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Trên Mặt trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức $h(t) = 0,81t^{2}$, với t được tính bằng giây và h tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt trăng tại thời điểm t = 2