Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu hỏi mở đầu

Trong thực tế, người thợ xây dựng thường dùng dây dọi để xác định đường vuông góc với nền nhà. Thế nào là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng?

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Khám phá 1 trang 57 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Thả một sợi dây AO chạm sàn nhà tại điểm O. Kẻ một đường thẳng xOy bất kì trên sàn nhà

a) Dùng êke để kiểm tra xem AO có vuông góc với xOy không

b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà

Khám phá 2 trang 57 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b trong mặt phẳng (P). Xét một đường thẳng c bất kì trong (P) (c song song với a và b). Gọi O là giao điểm của d và (P). Trong (P) vẽ qua O ba đường thẳng a', b', c' lần lượt song song với a, b, c. Vẽ một đường thẳng cắt a', b', c' lần lượt tại B, C, D. Trên d lấy hai điểm E, F sao cho O là trung điểm của EF (Hình 4)

a) Giải thích tai sao hai tam giác CEB và CFB bằng nhau

b) Có nhận xét gì về tam giác DEF? Từ đó suy ra góc giữa d và c

Khám phá 3 trang 58 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: 

a) Trong không gian, cho điểm O và đường thẳng d. Gọi a, b là hai đường thẳng phân biệt đi qua O và vuông góc với d (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng d vf mp(a,b)?

b) Trong không gian, cho điểm O và mặt phẳng (P). Gọi (Q) và (R) là hai mặt phẳng đi qua O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a,b nằm trong (P) (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng (P) và giao tuyến d của (Q), (R)?

Thực hành 1 trang 59 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) $CB \perp (SAB)$ và $CD \perp (SAD)$

b) $HK \perp AI$

Vận dụng 1 trang 59 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Làm thế nào để dựng cột chống biển báo nào đó vuông góc với mặt đất?

2. Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Khám phá 4 trang 60 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Nêu nhận xét về vị trí tương đối của:

a) Hai thân cây cùng mọc vuông góc với mặt đất

b) Mặt bàn và mặt đất cùng vuông góc với chân bàn

c) Thanh xà ngang nằm trên trần nhà và mặt sàn nhà cùng vuông góc với cột nhà

Thực hành 2 trang 61 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho tứ diện OABC có OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) và có A', B', C' lần lượt là trung điểm cuẩ OA, AB, AC. Vẽ OH là đường cao của tam giác OBC. Chứng minh rằng:

a) $OA \perp (A'B'C')$

b) $B'C' \perp (OAH)$

Thực hành 3 trang 62 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông với AB là cạnh góc vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SB, AB, CD, SC. Chứng minh rằng:

a) $SA \perp (MNPQ)$

b) $MQ \perp (SAB)$

Vận dụng 2 trang 62 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một kệ sách có bốn trụ chống và các ngăn làm bằng các tấm gỗ (Hình 18). Làm thế nào dùng êke để kiểm tra xem các tấm gỗ có vuông góc với mỗi trụ chống và song song với nhau hay không? Giải thích cách làm.

3. Phép chiếu vuông góc

Khám phá 5 trang 62 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Hai người thợ trong hình đang thả dây rọi từ một điểm M trên trần nhà và đánh dấu điểm M' nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng MM' với mặt sàn?

Thực hành 4 trang 63 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có $SA\perp (ABCD)$ và đáy ABCD là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm C, đường thẳng CD và tam giác SCD trên mặt phẳng (SAB)

Khám phá 6 trang 63 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) và b là đường thẳng không thuộc (P) và không vuông góc với (P). Lấy hai điểm A, B trên b và gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P).

a) Xác định hình chiếu b' của b trên (P)

b) Cho a vuông góc với b, nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng a và mp(b,b')

ii) hai đường thẳng a và b'

c) Cho a vuông góc với b', nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng a và mp(b,b')

ii) giữa hai đường thẳng a và b

Thực hành 5 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng đi qua O và vuông góc với (ABC) tại H. Chứng minh $AH \perp BC$

Vận dụng 3 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng AB trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi

Bài tập

Bài tập 1 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có $SA \perp (ABCD)$. Cho biết ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = 2AD

a) Chứng minh $CD \perp (SAD)$

b) Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh $CM \perp (SAB)$

Bài tập 2 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình vuông ABCD. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD. Trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại H, lấy điểm S. Chứng minh rằng:

a) $AC \perp (SHK)$

b) $CK \perp (SDH)$

Bài tập 3 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, có các cạnh bên đều bằng 2a

a) Tính góc giữa SC và AB

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác SAB trên mặt phẳng (ABCD)

Bài tập 4 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{ASB} = 90^{o}; \widehat{BSC} = 60^{o}$ và $\widehat{ASC} = 120^{o}$. Gọi I là trung điểm cạnh AC. Chứng minh $SI \perp (ABC)$

Bài tập 5 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' vuông góc với đáy (Hình 24)

Cho biết AB = AC = 2,4m; BC = 2m; AA' = 3m

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AA' và BC; A'B' và AC

b) Tính diện tích hình chiếu vuông góc của tam giác ABB' trên mặt phẳng (BB'C'C)