Bài tập 4 trang 64 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a,...

Để chứng minh $SI \perp (ABC)$, ta cần chứng minh rằng tam giác SIB vuông tại I.

Ta có các thông tin sau:
- Tam giác SAB vuông tại S có $AB = \sqrt{SA^{2}+SB^{2}}=a\sqrt{2}$
- Tam giác SBC đều có $SB=SC=a$, nên $BC = a$
- Tam giác SAC có $AC = \sqrt{SA^{2}+SC^{2}-2SA.SC.cos\widehat{ASC}} = a\sqrt{3}$
- Tam giác ABC vuông tại B với $AB^{2} + BC^{2} = AC^{2}$

Do I là trung điểm của AC nên $BI = \frac{AC}{2}= a\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta biết rằng tam giác SAC cân cạnh $a$ nên SI là trung tuyến nên $SI \perp AC$. Từ đó suy ra $SI = \sqrt{SA^{2}-AI^{2}}=\frac{a}{2}$

Xét tam giác SIB ta có $SI^{2}+IB^{2} = SB^{2}$ nên tam giác SIB vuông tại I.

Vậy là ta đã chứng minh được rằng $SI \perp (ABC)$.