Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 4 Khoảng cách trong không gian

Câu hỏi mở đầu

Có bao nhiêu loại khoảng cách trong công trình đang xây dụng này? Làm thế nào để tính được những khoảng cách đó

1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng

Khám phá trang 74 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: 

a) Cho điểm M và đường thẳng a không đi qua M. Trong mặt phẳng (M, a), dùng êke để tìm điểm H trên a sao cho $MH \perp a$ (Hình 1a). Đo độ dài đoạn MH

b) Cho điểm M không nằm trên mặt phẳng sàn nhà (P). Dùng day dọi để tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (P) (Hình 1b).

Thực hành 1 trang 75 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cho biết SA = a và SA vuông góc với (ABCD)

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến (SAD)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến cạnh SC

Vận dụng 1 trang 75 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một quạt trần có bề dày của thân quạt là 2 cm. Người ta muốn treo quạt sao cho khoảng cách từ đỉnh quạt đến sàn nhà là 2,5 m. Hỏi phải làm cán quạt dài bao nhiêu? Cho biết trần nhà cao 3,6 m.

2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song

Khám phá 2 trang 76 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: 

a) Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên a và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P) (Hình 4a). So sánh độ dài hai đoạn thẳng AH và BK.

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Lấy hai điểm A, B tuỳ ý trên (P) và gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (Q) (Hình 4b). So sánh độ dài hai đoạn AH và BK

Thực hành 2 trang 77 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính khoảng cách:

a) Giữa hai mặt phẳng (ACD') và (A'C'B)

b) Giữa đường thẳng AB và (A'B'C'D')

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khám phá 3 trang 77 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa b và song song với a. Gọi (P) là mặt phẳng chứa a, vuông góc với (Q) và cắt b tại điểm J. Trong (P), gọi c là đường thẳng đi qua J, vuông góc với a và cắt a tại điểm I.

Đường thẳng IJ có vuông góc với b không? Giải thích

Thực hành 3 trang 78 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đều bằng a và vuông góc từng đôi một. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) OA và BC

b) OB và AC

Vận dụng 2 trang 78 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một căn phòng có trần cao 3,2 m. Tính khoảng cách giữa một đường thẳng a trên trần nhà và đường thẳng b trên sàn nhà.

4. Công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp

Khám phá 4 trang 78 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho một khối hộp chữ nhật với các kích thước a, b, c đều là số nguyên dương. Vẽ các mặt phẳng song song với các mặt của hình hộp và chia nó thành các khối lập phương có cạnh bằng 1 (Hình 11). Tìm số hình lập phương đơn vị có trong hình hộp.

Khám phá 5 trang 79 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' (Hình 14). Tìm cách chia khối lăng trụ thành ba khối chóp có cùng chiều cao và diện tích đáy.

Thực hành 4 trang 81 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính thế tích của một bồn chứa dang hình chóp cụt đều có kích thước được cho như trong Hình 20.

Vận dụng 3 trang 81 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:  Tính thể tích cái nêm hình lăng trụ đứng có kích thước như trong Hình 21.

Bài tập

Bài tập 1 trang 81 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo, $\widehat{ABC} = 60^{o}, SO\perp (ABCD), SO = a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD)

Bài tập 2 trang 81 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hai tam giác cân ABC và ABD có đáy chung AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng. 

a) Chứng minh rằng $AB\perp CD$

b) Xác định đoạn vuông góc chung của AB và CD

Bài tập 3 trang 81 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA=SB=SC=SD=a\sqrt{2}$. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh $AB \perp (SIJ)$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Bài tập 4 trang 81 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, góc giữa hai mrụặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng $60^{o}$.

a) Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ

b) Tính thể tích của khối lăng trụ

Bài tập 5 trang 81 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Một cây cầu dành cho người đi bộ (Hình 22) có mặt sàn cầu cách mặt đường 3,5 m, khoảng cách từ đường thẳng a nằm trên tay vịn của cầu đến mặt sàn cầu là 0,8 m. Gọi b là đường thẳng kẻ theo tim đường. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b

Bài tập 6 trang 82 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a và đáy ABCD là hình thoi có AB = a và $AC=a\sqrt{3}$

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AA'

b) Tính thể tích của khối hộp

Bài tập 7 trang 82 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB

b) Tính thể tích của khối chóp

Bài tập 8 trang 82 toán lớp 11 tập 2 Chân trời: Tính thể tích của khối chóp cụt lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' với O và O' là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là a và $\frac{a}{2}$, OO' = a