Bài 17.Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi...

Gọi E là trung điểm của AD. Ta có tam giác ABE là tam giác đều. Do đó AE = AB, và ta có tam giác AEC là tam giác vuông cân. Áp dụng định lý Pythagore, ta có AC = √(AE^2 + EC^2). Từ đây, suy ra AD = AE/2 < AC/2. Vậy ta chứng minh được rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Kẻ đường thẳng qua A song song với BC, cắt BD tại M. Ta có tứ giác ABMC là tứ giác hoàn hảo. Áp dụng định lí tự tính, ta có AM = BC/2. Dễ dàng suy ra AD < AM => AD < AB + AC, tức là AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Gọi E là trung điểm của BC. Ta có BD = DC, do đó tam giác ABD và tam giác ACD đều bằng nhau. Áp dụng định lí hình học, ta có AD song song với EC và AD = 1/2 BC. Do đó AD nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC.

Ta có chu vi tam giác ABC là AB + BC + AC. Vì D nằm giữa B và C nên ta có BD + DC = BC. Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được < AD + AB + BD < AC + BC = AB + AC + BD => AD < AB + AC.