Bài 18*.Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng...

Sử dụng định lí căn bậc hai: Tính chu vi của tam giác bằng căn bậc hai của tổng bình phương độ dài các cạnh. Từ đó, có thể chứng minh bất đẳng thức đề bài.

Chứng minh bằng phương pháp đồ thị hóa: Vẽ một tam giác với cạnh lớn nhất lớn hơn hoặc bằng $rac{1}{3}$ chu vi và nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác. Suy ra tồn tại một tam giác với tính chất trên.

Tính toán trực tiếp: Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác. Theo đề bài, ta có a > $rac{1}{3}(a + b + c)$ và a < $rac{1}{2}(a + b + c)$.

Chứng minh bằng phương pháp đặt số: Giả sử cạnh lớn nhất có độ dài x, hai cạnh còn lại có độ dài y và z. Ta có $x < rac{2}{3}(x + y + z)$, hay $3x < 2x + 2y + 2z$.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Ta có $a + b > c$, $b + c > a$, $a + c > b$. Kết hợp với giả định đề bài, ta suy ra $a > rac{1}{3}(a + b + c)$.