Bài 8 trang 14 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 CTST:Chứng minh rằng, với mọi số nguyên...

Để chứng minh rằng $(8n + 4)^{2} − (2n + 1)^2$ chia hết cho 15, ta cũng có thể sử dụng thuật toán Euclid. Ta chia số dư cho 15 của cả hai hạng của biểu thức, và nhận thấy rằng cả hai đều cho cùng một số dư. Vì vậy, hiệu của chúng cũng chia hết cho 15.

Để chứng minh rằng $(8n + 4)^{2} − (2n + 1)^2$ chia hết cho 15, ta cũng có thể sử dụng định lí $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$. Áp dụng vào biểu thức cho trước, ta có $(8n + 4 + 2n + 1)(8n + 4 - 2n - 1) = (10n + 5)(6n + 3) = 30(n + 1)(3n + 1)$. Do đó, $(8n + 4)^{2} − (2n + 1)^2$ chia hết cho 15.

Để chứng minh rằng $(2n + 1)^{2} − (2n − 1)^{2}$ chia hết cho 8, ta cũng có thể sử dụng định lí $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$. Khi áp dụng định lí này vào biểu thức cho trước, ta có $(2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n imes 2 = 8n$. Vì vậy, $(2n + 1)^{2} − (2n − 1)^{2}$ chia hết cho 8.

Để chứng minh rằng $(2n + 1)^{2} − (2n − 1)^{2}$ chia hết cho 8, ta đặt $m = 2n + 1$. Khi đó, $(2n + 1)^{2} − (2n − 1)^{2} = m^{2} - (m-2)^{2} = (m + m - 2)(m - m + 2) = 2m(2) = 4m$. Vì $m = 2n + 1$ là số lẻ, nên $4m$ chia hết cho 8.