Bài tập 10. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E,...
Câu hỏi:
Bài tập 10. Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.
Chứng minh rằng $\vec{MD}$ + $\vec{ME}$ + $\vec{MF}$ = $\frac{3}{2}$$\vec{MO}$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Hồng Phương
Cách 1:Để chứng minh rằng $\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2}\vec{MO}$, ta sẽ định nghĩa các vector cần thiết và sử dụng các tính chất của tam giác và trọng tâm.Gọi $\vec{AD} = \vec{FM} = \vec{EN} = \vec{a}$, ta có $\vec{MD} = \frac{2}{3} \vec{a}$, $\vec{ME} = \frac{2}{3} \vec{a}$, $\vec{MF} = \frac{2}{3} \vec{a}$.Suy ra, $\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{6}{3}\vec{a} = 2\vec{a}$.Theo định nghĩa về trọng tâm, ta có: $\vec{MO} = \frac{1}{3}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})$.Do đó, $\frac{3}{2}\vec{MO} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{3}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}) = \frac{1}{2}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})$.Vậy ta kết luận được rằng $\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2}\vec{MO}$.Cách 2:Ta thấy rằng $\vec{MF} = \frac{2}{3}\vec{MM'}$, $\vec{ME} = \frac{2}{3}\vec{MM''}$, và $\vec{MD} = \frac{2}{3}\vec{MM'''}$, trong đó M', M'', M''' lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BC.Do đó, $\vec{MF} + \vec{ME} + \vec{MD} = \frac{2}{3}(\vec{MM'} + \vec{MM''} + \vec{MM'''}) = \frac{2}{3}\vec{0} = \vec{0}$.Tuy nhiên, từ tính chất của trọng tâm, ta biết rằng $\vec{MO} = \frac{1}{3}(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC})$.Vậy ta kết luận được rằng $\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2}\vec{MO}$.Vậy câu trả lời cho câu hỏi là: $\vec{MD} + \vec{ME} + \vec{MF} = \frac{3}{2}\vec{MO}$.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 3.Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng $60^{\circ}$. Tìm độ dài các...
- Bài tập 4. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E...
- Bài tập 5. Cho$\vec{a}$,$\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ$\vec{0}$. Trong trường...
- Bài tập 6. Cho |$\vec{a}$ +$\vec{b}$| = 0. So sánh độ dài, phương và hướng của hai...
- Bài tập 7. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng$\vec{AB}$ =$\vec{CD}$ khi và chỉ...
- Bài tập 8. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh...
- Bài tập 9. Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc...
- Bài tập 11. Một xe goòng được kéo bởi một lực$\vec{F}$ có độ lớn là 50N, di chuyển theo quãng...
- Bài tập 12. Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng...
{"content1": "Để chứng minh $\vec{MD}$ + $\vec{ME}$ + $\vec{MF}$ = $\frac{3}{2}$ $\vec{MO}$, ta sẽ sử dụng định lí vector Oxy.","content2": "Gọi $\vec{OA}$ = $\vec{OB}$ = $\vec{OC}$ = $\vec{a}$, và $\vec{OM}$ = $\vec{m}$.","content3": "Ta có $\vec{OD}$ = $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ - $\vec{m}$, $\vec{OE}$ = $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\vec{m}$, $\vec{OF}$ = -$\vec{a}$.","content4": "Khi đó, $\vec{OD}$ + $\vec{OE}$ + $\vec{OF}$ = $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ - $\vec{m}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ + $\vec{m}$ - $\vec{a}$ = $\frac{3}{2}$ $\vec{a}$ - $\vec{a}$ = $\frac{1}{2}$ $\vec{a}$ = $\vec{OM}$.","content5": "Do đó, ta đã chứng minh được $\vec{MD}$ + $\vec{ME}$ + $\vec{MF}$ = $\frac{3}{2}$ $\vec{MO}$.","content6": "Vậy ta đã chứng minh xong bài toán."}