Bài tập 4.24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2;...

Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

a. Giải tam giác ABC:
- Tính vector $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{CA}$.
- Tính độ dài cạnh AB, BC và CA.
- Áp dụng định lí cosin để tính các góc trong tam giác ABC.

b. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:
- Gọi H(x; y) là tọa độ của trực tâm H.
- Sử dụng tính chất trực giao của các vector để tìm x và y.

Câu trả lời chi tiết:
a.
- $\overrightarrow{AB} = (2 - (-4), 4 - 1) = (6, 3)$.
- $\overrightarrow{BC} = (2 - 2, -2 - 4) = (0, -6)$.
- $\overrightarrow{CA} = (-4 - 2, 1 - (-2)) = (-6, 3)$.

Độ dài các cạnh:
- AB = $\sqrt{6^2 + 3^2} = 3\sqrt{5}$.
- BC = 6.
- CA = 3$\sqrt{5}$.

Áp dụng định lí cosin:
- $cosA = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3}{5}$ => $\angle A \approx 53^\circ$.
- $cosB = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ => $\angle B \approx 63^\circ$.
- $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 64^\circ$.

b.
- $\overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$ và $\overrightarrow{BH} \cdot \overrightarrow{CA} = 0$.
- Gọi $(x, y)$ là tọa độ của trực tâm H.
- Giải hệ phương trình:
- $(x + 4) \cdot 0 + (y - 1) \cdot (-6) = 0$
- $(x - 2) \cdot (-6) + (y - 4) \cdot 3 = 0$
- Ta tính được $x = 0.5$ và $y = 1$.
- Vậy tọa độ của trực tâm H là $(0.5, 1)$.