Bài tập 4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta...
Câu hỏi:
Bài tập 4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có:$S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Linh
Để chứng minh công thức trên, ta sử dụng định lí hai đại lượng có thể biểu diễn được thành tích vô hướng và tích vector:Cho tam giác ABC, ta có:$\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 = AB^2 \cdot AC^2$$(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = (AB \cdot AC \cdot \cos\angle BAC)^2$Với $cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})= \cos\angle BAC$Khi đó, ta có:$\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = AB^2 \cdot AC^2 (1 - \cos^2 \angle BAC) = AB^2 \cdot AC^2 \cdot \sin^2 \angle BAC$Từ đó suy ra:$\frac{1}{2} \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin^2 \angle BAC = S_{ABC}$Vậy ta đã chứng minh công thức $S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{\overrightarrow{AB}^2 \cdot \overrightarrow{AC}^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}$ cho mọi tam giác ABC.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 4.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và...
- Bài tập 4.22. Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ để:a....
- Bài tập 4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(-4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm...
- Bài tập 4.24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2;...
- Bài tập 4.26. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta...
{ "content1": "Để chứng minh công thức trên, ta sử dụng công thức cosine của góc giữa 2 vector: $|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}|=||\overrightarrow{AB}||.||\overrightarrow{AC}||.cos{(\widehat{BAC})}$", "content2": "Sử dụng công thức trên và công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích vô hướng 2 vector cạnh của tam giác, ta suy ra được công thức $S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^{2}.\overrightarrow{AC}^{2}-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^{2}}$", "content3": "Do đó, ta đã chứng minh được công thức cho mọi tam giác ABC."}