Bài tập 4.26. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta...
Câu hỏi:
Bài tập 4.26. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=3MG^{2}+GA^{2}+GC^{2}+GC^{2}$.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Huy
Cách làm: - Ta chứng minh theo định lý Pythagore: $MA^{2} = \overrightarrow{MA}^2 = (\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA})^2$- Tiếp tục áp dụng định lý Pythagore cho $MB^{2}$ và $MC^{2}$- Tính ra ta có $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$Câu trả lời: Với mọi điểm M trong mặt phẳng, ta có: $MA^{2} + MB^{2} + MC^{2} = 3MG^{2} + GA^{2} + GB^{2} + GC^{2}$, với G là trọng tâm của tam giác ABC.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 4.21. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vecto $\overrightarrow{a}$ và...
- Bài tập 4.22. Tìm điều kiện của $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ để:a....
- Bài tập 4.23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(-4; 3). Gọi M(t; 0) là một điểm...
- Bài tập 4.24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4; 1), B(2; 4), C(2;...
- Bài tập 4.25. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta...
Khi đó, ta có MA2 + MB2 + MC2 = x2 + y2 + z2 = 3MG2 + GA2 + GC2 + GC2.
Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các đoạn MG, GA, GC, ta có x2 = MG2 + GA2, y2 = AG2 + GC2, z2 = GC2 + MG2.
Để chứng minh mệnh đề trên, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC.