Bài tập 5.4 trang 109 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Viết các số thập phân vô hạn...

Để giải bài toán trên, ta có thể áp dụng công thức tính tổng của dãy số hình học vô hạn:
a) $1,121212...=1 + 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + ...$
$= 1 + 12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+...$
Ta thấy rằng $12\times 10^{-2}+12\times 10^{-4}+12\times 10^{-6}+...$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=12\times 10^{-2},q=10^{-2}$.
Áp dụng công thức như trên, ta tính được $1,121212...=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{12\times 10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{37}{33}$.

b) $3,102102102...=3+0,102+0,000102+0,000000102+...$
$=3+102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}...$
Tương tự, ta thấy rằng $102\times 10^{-3}+102\times 10^{-6}+102\times 10^{-9}+...$ là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1}=102\times 10^{-3}, q=10^{-3}$.
Áp dụng công thức như trên, ta tính được $3,(102)=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{102\times 10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{1033}{333}$.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $1,121212... = \frac{37}{33}$
b) $3,(102) = \frac{1033}{333}$