Bài tập 7. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ trong các trường hợp sau:a)...

Để tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng, ta áp dụng công thức sau:

Nếu hai đường thẳng $d_{1}: ax + by + c_{1} = 0$ và $d_{2}: mx + ny + c_{2} = 0$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\textbf{u} = (a, b)$ và $\textbf{v} = (m, n)$ thì góc giữa hai đường thẳng đó được tính bằng công thức:

$\cos(d_{1}, d_{2}) = \frac{|\textbf{u} \cdot \textbf{v}|}{||\textbf{u}|| \cdot ||\textbf{v}||}$

a) $d_{1}: 5x - 3y + 1 = 0$ và $d_{2}: 10x - 6y - 7 = 0$

Vectơ pháp tuyến của $d_{1}$ là $\textbf{u} = (5, -3)$ và của $d_{2}$ là $\textbf{v} = (10, -6)$

$\cos(d_{1}, d_{2}) = \frac{|5 \cdot 10 + (-3) \cdot (-6)|}{\sqrt{5^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{10^2 + (-6)^2}} = \frac{48}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{136}}$

$\Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = \cos^{-1}\left(\frac{48}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{136}}\right)$

b) $d_{1}: 7x - 3y + 7 = 0$ và $d_{2}: 3x + 7y - 10 = 0$

Vectơ pháp tuyến của $d_{1}$ là $\textbf{u} = (7, -3)$ và của $d_{2}$ là $\textbf{v} = (3, 7)$

$\cos(d_{1}, d_{2}) = \frac{|7 \cdot 3 + (-3) \cdot 7|}{\sqrt{7^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{3^2 + 7^2}}$

$\Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = \cos^{-1}\left(\frac{0}{\sqrt{58} \cdot \sqrt{58}}\right) = 90^o$

c) $d_{1}: 2x - 4y + 9 = 0$ và $d_{2}: 6x - 2y - 2023 = 0$

Vectơ pháp tuyến của $d_{1}$ là $\textbf{u} = (2, -4)$ và của $d_{2}$ là $\textbf{v} = (6, -2)$

$\cos(d_{1}, d_{2}) = \frac{|2 \cdot 6 + (-4) \cdot (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{6^2 + (-2)^2}}$

$\Rightarrow (d_{1}, d_{2}) = \cos^{-1}\left(\frac{16}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{40}}\right) = 45^o$