Hoạt động 2 trang 54 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 KNTT: Cho hình thang cân ABCD, kẻ hai...

Ta có góc BDC = góc ACD (hai góc đối nhau trong hình thang cân). Gọi O là trung điểm của AD, ta có AO = DO (trung bình song song), BO = CO (trung bình song song). Vậy tam giác OAC cũng đồng dạng với tam giác OBD, từ đó suy ra AC = BD.

Kẻ AH vuông góc với BD tại H, ta có hai tam giác ACH và BCH cùng có góc ACH = góc BCH (vuông góc với BD), góc AHC = góc BHC (180 độ - xuyên tâm), và AC = BC (chung cạnh). Từ đó suy ra hai tam giác này đồng dạng, và AC = BD.

Gọi E là giao điểm của AC và BD. Ta có hai tam giác AED và BEC cùng có góc AED = góc BEC (là góc ở tâm của hình tròn nội tiếp), góc ADE = góc BCE (cùng là góc ngoại tiếp với góc thông). Và AE = BE (chung cạnh), nên theo góc - cạnh - góc thì hai tam giác này đồng dạng, từ đó suy ra AE = BE = AC = BD.

Ta có hai tam giác ACD và BDC cùng có góc ACD = góc BDC (do hình thang cân), góc ADC = góc BCD (cùng là góc ngoại tiếp với góc thông). Và AC = AC (chung cạnh), nên theo góc - cạnh - góc thì hai tam giác này đồng dạng, từ đó suy ra AC = BD.