Bài 3 trang 75 toán lớp 7 tập 2 CTSTCho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại...

a) Cách làm 1:
- Kẻ đường thẳng qua B song song với EC, giao AM tại H.
- Ta có ∆BMG và ∆CME là hai tam giác cân cân (BM = CM, ME = MG).
- Từ đó suy ra BG song song với EC (vì các góc tại B và E đều bằng nhau).
b) Cách làm 2:
- Gọi I là giao điểm của BG và AC.
- Ta có AG = 2GM (vì G là trọng tâm của tam giác ABC) và GE = 2GM (vì GM = ME).
- Từ đó suy ra G là trung điểm của AE.
- Xét tam giác ABM và điểm I: AI là đường trung tuyến, BG là đường trung tuyến.
- Vậy F là trọng tâm của tam giác ABC nên AF = 2FI.

Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn:
a) Chứng minh rằng BG song song với EC:
- Vì BM = MC, ME = MG (do M là trung điểm của BC), và $\widehat{BMG}$ = $\widehat{CME}$ (cặp góc đối).
- Suy ra ∆BMG = ∆CME (theo góc - cạnh - góc).
- Do đó, $\widehat{GBM}$ = $\widehat{BCE}$, hai góc này là góc so le nên BG // EC.

b) Chứng minh rằng AF = 2FI:
- Gọi I là giao điểm của BG và AC, ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.
- Do AG = 2GM và GE = 2GM, suy ra G là trung điểm của AE.
- Khi xét tam giác ABM và điểm I: AI là đường trung tuyến, BG là đường trung tuyến.
- Vậy theo định lý trọng tâm, F là trọng tâm của tam giác ABC nên AF = 2FI.