Bài tập 4 trang 112 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc cạnh AB. Gọi...

Để chứng minh MNPQ là hình bình hành:
- Ta có $(\alpha) \parallel BC$, suy ra MN $\parallel$ BC.
- $(\alpha) \parallel AD$, suy ra PQ $\parallel$ AD.
- Gọi I là giao điểm của MN và PQ, ta có:
+ Trong tam giác MCD, ta có $(\alpha) \parallel CD$, suy ra MN $\parallel$ CD và PQ $\parallel$ CD, do đó MP = NQ.
+ Trong tam giác ABD, ta có $(\alpha) \parallel AB$, suy ra MQ $\parallel$ AB và NP $\parallel$ AB, do đó MQ = NP.
Vậy ta có MNPQ là hình bình hành.

Để MNPQ là hình thoi, ta cần điều kiện là MN = NP.
- Ta có $\dfrac{MN}{BC} = \dfrac{AN}{AC}$ và $\dfrac{NP}{AD} = \dfrac{CN}{AC}$.
- Tương tự như trên, ta sẽ có $\dfrac{MN}{AD} = \dfrac{CN}{AC}$.
- Từ đây, suy ra $\dfrac{MN}{BC} + \dfrac{MN}{AD} = 1$, hay $MN = \dfrac{AD \cdot BC}{AD + BC}$.
Vậy MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi $MN = \dfrac{AD \cdot BC}{AD + BC}$.