Thực hành 1 trang 108 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Cho E và F lần lượt là trung điểm của các...

Để giải bài toán trên, ta có thể sử dụng định lí của trung điểm trong tam giác để chứng minh.

Cách 1:
Gọi M là trung điểm của BC, ta có EM song song với AD (do E là trung điểm của AB).
Gọi H là giao điểm của AD và EF, ta có AH chia EF ở H theo tỉ lệ 1:1 (do E là trung điểm của AC).
Khi đó, ta chứng minh được rằng EF // BC và EF nằm trong mặt phẳng (BCD), do đó có thể kết luận được vị trí của các đường thẳng BC, AD và EF.

Cách 2:
Sử dụng vectơ để chứng minh:
Gọi vector \(\overrightarrow{BC} = \textbf{b}, \overrightarrow{AD} = \textbf{a}, \overrightarrow{EF} = \textbf{e}\).
Ta có: \(\overrightarrow{AC} = \frac{1}{2}(\textbf{a} + \textbf{b})\), \(\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\textbf{a} + \textbf{c})\), \(\overrightarrow{ED} = \frac{1}{2}(\textbf{a} + \textbf{e})\).
Do E là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EB}\) suy ra \(\textbf{a}+\textbf{b} = 2\textbf{e}\) hay \(\textbf{e} = \frac{1}{2}\textbf{a} + \frac{1}{2}\textbf{b}\).
Đường thẳng EF song song với đường thẳng BC nên \(\textbf{e} = k\textbf{b}\) với k là một hằng số, từ đó suy ra EF và BC cùng thuộc một mặt phẳng.

Như vậy, ta đã chứng minh được:
- Đường thẳng BC thuộc mặt phẳng (BCD).
- Đường thẳng AD cắt mặt phẳng (BCD).
- Đường thẳng EF song song với mặt phẳng (BCD).