Bài 71.Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MG lấy...

a) Ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM. Gọi E là trung điểm của AC, khi đó GE = GM. Xét tam giác GMD và GEC ta có GD // EC và DM = MG = GE nên tam giác GMD và GEC đồng dạng. Từ đó suy ra CG là trung tuyến của tam giác ACD.

c) Ta có: AI cắt BG tại F, gọi H là trung điểm của AF. Khi đó ta có AH = HF, do đó tam giác AHI là tam giác đều, suy ra AI = IH. Ta có IB = ID và BG // CD nên tam giác BDI cũng cân tại D, từ đó suy ra IF = ID = IB. Từ đó ta có AF = AH + HF = AI + IF = 2IF.

b) Gọi I là trung điểm của BD, ta có IM song song với BC và I là trung điểm của BD nên BI = ID. Mà MD = MG nên tam giác MGD cũng cân tại M, suy ra IG song song với CD.

a) Ta có: CG là đường cao của tam giác ACD với đỉnh C, nên CG vuông góc với AD. Mà MD = MG nên tam giác MGD cũng cân tại M, suy ra CG là trung trực của đoạn MD và do đó CG là trung tuyến của tam giác ACD.