Bài 76.Cho tam giác nhọn ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh...

Gọi N là giao điểm của BD và CM. Ta có BN/BD = 1/2 = CN/CD do E là trung tâm của BC và BM là trung tâm của CD nên tam giác BCM tỷ lệ với tam giác BDN theo tỷ lệ 1:2. Vậy ta có CM // BN và ba điểm B, M, E thẳng hàng.

Gọi I là giao điểm của BE và CM. Ta có BI/BM = 2 = EI/EM và CI/CM = 3 = DI/DM nên ta có tam giác EIM tỷ lệ với tam giác DCM theo tỷ lệ 2:3. Vậy ta có BE // DM và ba điểm B, M, E thẳng hàng.

Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên ta có BD = 2ED. Gọi M là trung điểm của DC, ta có BM = MD. Vậy ta có BE // DM và BE = 2MD. Do đó, ba điểm B, M, E thẳng hàng.

Vì AE = 1/3 AC nên ta có EC = 2/3 AC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Ta có BG // EC và BG = 2/3 GC. Do đó, theo định lý Thales, ta có BG = 2/3 GC và G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có AB // DE và AD = AB nên tam giác ABD đều. Vì vậy, ta có AD = AB = BD, suy ra tam giác ABD là tam giác đều.