Bài tập 1. Viết phương trình chính tắc của:a) Elip có trục lớn bằng 12 và trục nhỏ bằng 8;b)...

Để giải bài toán trên, chúng ta cần biết định nghĩa của elip, hyperbol và parabol và cách tìm phương trình chính tắc của chúng. Dưới đây là cách giải từng phần:

a) Để tìm phương trình chính tắc của elip, ta biết rằng phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$, với a là trục lớn và b là trục nhỏ. Trong trường hợp này, ta có a = 12 và b = 8, vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{64} = 1$.

b) Tương tự, để tìm phương trình chính tắc của hyperbol, ta biết rằng phương trình chính tắc của hyperbol có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$, với a là độ dài nửa trục thực và b là tiêu cự. Trong trường hợp này, ta có 2a = 14 nên a = 7 và 2c = 18 nên c = 9. Vậy phương trình chính tắc của hyperbol là $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{81} = 1$.

c) Để tìm phương trình của parabol, ta dựa vào định nghĩa của parabol là tập hợp các điểm cách một điểm cố định F gọi là tiêu điểm.

Với tiêu điểm F(5; 0), ta dùng định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để tìm phương trình của parabol. Phương trình của parabol có dạng $y^{2} = 4ax$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của F lên trục x, khoảng cách từ F đến trục x là a. Ta tính được a = 5. Vậy phương trình của parabol là $y^{2} = 20x$.

Vậy các phương trình chính tắc của elip, hyperbol và parabol lần lượt là:
a) (E): $\frac{x^{2}}{144} + \frac{y^{2}}{64} = 1$;
b) (H): $\frac{x^{2}}{49} - \frac{y^{2}}{81} = 1$;
c) (P): $y^{2} = 20x$.