Bài tập 2. Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ các tiêu...

Để giải bài toán trên, chúng ta sẽ làm như sau:

a) Đường ellipse $(C_{1}): 7x^{2} + 13y^{2} = 1$
Chuyển về dạng chuẩn: $\frac{x^{2}}{\frac{1}{7}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{13}} = 1$
Ta được $a^{2} = \frac{1}{7}$ và $b^{2} = \frac{1}{13}$.
Từ đó suy ra $a = \sqrt{\frac{1}{7}}$ và $b = \sqrt{\frac{1}{13}}$.
Do đó, ta có hai tiêu điểm của ellipse $(C_{1})$ là $F_{1}(-\sqrt{\frac{1}{7}}, 0)$ và $F_{2}(\sqrt{\frac{1}{7}}, 0)$.

b) Đường hyperbola $(C_{2}): 25x^{2} - 9y^{2} = 225$
Chuyển về dạng chuẩn: $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1$
Ta được $a^{2} = 9$ và $b^{2} = 25$.
Từ đó suy ra $a = 3$ và $b = 5$.
Do đó, ta có hai tiêu điểm của hyperbola $(C_{2})$ là $F_{1}(-3, 0)$ và $F_{2}(3, 0)$.

c) Đường parabola $(C_{3}): x = 2y^{2}$
Chuyển về dạng chuẩn: $y^{2} = \frac{1}{2}x$
Từ đó suy ra $p = \frac{1}{4}$ (khoảng cách từ đỉnh parabola đến đường thẳng đối xứng).
Do đó, hai tiêu điểm của parabola $(C_{3})$ là $F(\frac{1}{8}, 0)$.

Vậy phương trình chính tắc và tọa độ các tiêu điểm của các đường conic là:
a) $(C_{1}): \frac{x^{2}}{\frac{1}{7}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{13}} = 1$ có tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{\frac{1}{7}}, 0)$ và $F_{2}(\sqrt{\frac{1}{7}}, 0)$.
b) $(C_{2}): \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{25} = 1$ có tiêu điểm $F_{1}(-3, 0)$ và $F_{2}(3, 0)$.
c) $(C_{3}): y^{2} = \frac{1}{2}x$ có tiêu điểm $F(\frac{1}{8}, 0)$.