Bài tập 4. Cho tam giác $ABC$. Xét các mệnh đề:P:"Tam giác $ABC$ cân";Q:"Tam giác $ABC$...

Để chứng minh mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ có 4 cách phát biểu như trên, ta cần chứng minh đúng 2 phép tương đương:
1. Nếu tam giác $ABC$ cân thì tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau.
2. Nếu tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau thì tam giác $ABC$ cân.

Cách 1: Nếu tam giác $ABC$ cân, ta có $AD = BD$ với $D$ là trung điểm của cạnh $BC$. Khi đó, hai tam giác $ABD$ và $ACD$ đồng dạng với nhau (có cùng góc và cùng góc), từ đó suy ra $AB=AC$ (do tam giác $ABC$ cân). Vậy, tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau.

Cách 2: Giả sử tam giác $ABC$ có hai đường cao bằng nhau, tức là $AD = BE$ với $D$ và $E$ là hai trung điểm của $BC$ và $AC$. Đặt $BE$ là đường cao của tam giác $ABC$. Khi đó, ta có $AD^2 + BE^2 = AB^2 = AC^2$, do đó tam giác $ABC$ cân (với $AB = AC$).

Do đó, ta đã chứng minh được hai cách phát biểu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là đúng.