Bài tập 7. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định...

Để giải bài toán trên, ta cần thực hiện các bước sau:
1. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề cho sẵn.
2. Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó bằng cách thay giá trị hoặc vị từ vào mệnh đề, rồi kiểm tra xem mệnh đề đó còn đúng hay sai.

Trong trường hợp này, chúng ta có:
a) Mệnh đề phủ định: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^{2} = 2x - 2$".
Giải:
- Ta cần tìm một giá trị của x sao cho phương trình $x^{2} = 2x - 2$.
- Phương trình được viết lại dưới dạng $x^{2} - 2x + 2 = 0$.
- Áp dụng công thức delta, ta có $\Delta = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.
- Vì delta âm nên phương trình vô nghiệm, mệnh đề sai.

b) Mệnh đề phủ định: "$\exists x \in \mathbb{R}, x^{2} > 2x - 1$".
Giải:
- Ta cần tìm một giá trị của x sao cho bất đẳng thức $x^{2} > 2x - 1$ đúng.
- Bất đẳng thức có thể viết lại dưới dạng $x^{2} - 2x + 1 > 0$, hay $(x - 1)^{2} > 0$, điều này luôn đúng với mọi giá trị x.
- Do đó, mệnh đề đúng.

c) Mệnh đề phủ định: "$\forall x \in \mathbb{R}, x + \frac{1}{x} < 2$".
Giải:
- Ta cần tìm một giá trị của x sao cho bất đẳng thức $x + \frac{1}{x} < 2$ sai.
- Chọn x = 1, ta có $1 + \frac{1}{1} = 2$, bất đẳng thức trở thành biểu thức bằng nhau, mệnh đề sai.

d) Mệnh đề phủ định: "$\forall x \in \mathbb{R}, x^{2} - x + 1 \geq 0$".
Giải:
- Ta cần chứng minh rằng bất đẳng thức $x^{2} - x + 1 \geq 0$ đúng với mọi giá trị x.
- Để chứng minh điều này, ta cần kiểm tra delta: $\Delta = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$, vậy bất đẳng thức này đúng với mọi giá trị x.
- Do đó, mệnh đề đúng.

Vậy, có thể kết luận:
a) Mệnh đề phủ định "$\exists x \in \mathbb{R}, x^{2} = 2x - 2$" là sai.
b) Mệnh đề phủ định "$\exists x \in \mathbb{R}, x^{2} \geq 2x - 1$" là đúng.
c) Mệnh đề phủ định "$\forall x \in \mathbb{R}, x + \frac{1}{x} < 2$" là sai.
d) Mệnh đề phủ định "$\forall x \in \mathbb{R}, x^{2} - x + 1 \geq 0$" là đúng.