Bài tập 4 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 2 CD: Cho tứ giác ABCD. Tia phân giác của...

Để chứng minh AB . CD = AD . BC trong tứ giác ABCD, ta có thể áp dụng định lý hai đường phân giác của một tam giác:

Gọi M là giao điểm của tia phân giác của góc BAD với BC, và N là giao điểm của tia phân giác của góc BCD với AD.

Ta có tam giác ABD và tam giác DBC là hai tam giác đồng dạng (có cùng góc nội tiếp tại D), nên ta có:

$\frac{AB}{DB}=\frac{AD}{DC}$ (1)

Ta cũng có tam giác BCD và tam giác ACD là hai tam giác đồng dạng (có cùng góc nội tiếp tại C), nên ta có:

$\frac{BC}{DC}=\frac{AC}{AD}$ (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được:

$AB \cdot DC=AD \cdot DB$

Tương tự, ta có thể chứng minh được $AD \cdot BC=AC \cdot DB$

Nhân cả hai biểu thức trên ta được:

$AB \cdot CD=AD \cdot BC$

Vậy ta đã chứng minh được rằng AB . CD = AD . BC.