Câu 41: Trang 128 - sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 1Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây...

Để giải câu hỏi trên, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

a.
- Xác định vị trí tương đối của các đường tròn: ta thấy rằng (I) tiếp xúc trong với (O), (K) tiếp xúc trong với (O), và (I) tiếp xúc ngoài với (K).
- Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì có 4 góc bằng nhau và mỗi góc đều bằng 90 độ.
- Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC bằng cách sử dụng định lý hình vuông.
- Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (I) và (K) bằng cách chứng minh các góc tạo bởi các tiếp tuyến là bằng nhau.
- Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất bằng cách chứng minh rằng giá trị của AH bằng OA.

Câu trả lời đầy đủ và chi tiết hơn cho câu hỏi trên như sau:
a. Ta có : IO = OB – IB => (I) tiếp xúc trong với (O).
OK = OC – KC => (K) tiếp xúc trong với (O).
IK = OH + KH => (I) tiếp xúc ngoài với (K).
b. Tứ giác AEHF có : ∠A = ∠E = ∠F = 90 độ-> AEHF là hình chữ nhật.
c. Ta có : ∆AHB vuông -> AE.AB = AH^2
∆AHC vuông -> AF.AC = AH^2-> AE.AB = AF.AC (cmt)
d. Gọi G là giao điểm của AH và EF. Vì AHEF là hình chữ nhật -> AH = EF -> GH = GF ->
∠F₁ + ∠H₁ = 90 độ. Xét ∆KHF có : ∠F₂ + ∠H₂ = 90 độ-> ∠F₁ + ∠H₁ = ∠F₂ + ∠H₂ = 90 độ-> EF là tiếp tuyến của đường tròn (K) (cmt). Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) (cmt).
e. Ta có: EF = AH ≤ OA (OA có độ dài không đổi). Để EF lớn nhất <=> AH = OA <=> H ≡ O <=> dây AD đi qua O. Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.