Bài 64. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C}=30^{\circ}$. Đường trung trực của BC cắt AC...

a) Để chứng minh rằng BM là tia phân giác của góc ABC, ta cần chứng minh rằng $\widehat{B1} = \widehat{B2}$ trong tam giác MBC. Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{ABC} = 90^\circ - \widehat{C} = 60^\circ$.

Gọi I là trung điểm của BC. Ta có tam giác MBC cân tại M, do đó BM = MC.
$\widehat{B1} = \widehat{C} = 30^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A).
Vì BM = MC và $\widehat{B1} = \widehat{C}$ nên tam giác MBC là tam giác đều nên $\widehat{B2} = \widehat{B1} = \widehat{C} = 30^\circ$.

Vậy BM là tia phân giác của góc ABC.

b) Để chứng minh rằng MA < MC, ta chứng minh rằng tam giác AMI là tam giác vuông cân.
Vì MI là đường trung trực của BC nên MI vuông góc với BC và MI = IC.
Từ đó, ta có $\Delta ABM \cong \Delta IBM$ (cạnh huyền - góc nhọn) nên MA = MI.
Trong tam giác vuông MIC, ta có MC > MI (do MC là cạnh huyền) nên MC > MA.

Vậy MA < MC.