Bài 8.Cho tam giác ABC. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Kẻ CK vuông góc với AB tại K, BH cắt CK...

{
"answer1": "Ta có $\widehat{ABH}=\widehat{HCK}$ và $\widehat{CBH}=\widehat{ACK}$ (cùng phần bù của $\widehat{A}$). Do đó, $\widehat{ABH}+\widehat{ACK}=\widehat{HCK}+\widehat{CBH}=\widehat{HCK}+\widehat{HCK}=2\cdot\widehat{HCK}=180^{\circ}$. Vậy $\widehat{ABH}+\widehat{ACK}=180^{\circ}$, suy ra $\widehat{ABH}+90^{\circ}=\widehat{ACK}$.",
"answer2": "Ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times HC=\frac{1}{2}\times AC\times BK$. Từ đây suy ra $AB\times HC=AC\times BK$, hay $\frac{AB}{BK}=\frac{AC}{HC}$. Do đó tam giác $ABH$ và tam giác $ACK$ đồng dạng. Vậy $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$.",
"answer3": "Gọi $E$ là giao điểm của $AH$ và $BC$. Khi đó ta có tứ giác $ABEC$ là tứ giác nội tiếp do $\widehat{ABE}=\widehat{ACE}=90^{\circ}$. Áp dụng định lý cung nhỏ, ta có $\widehat{ABH}=\widehat{AEC}$ và $\widehat{ACE}=\widehat{ACK}$, nên $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$.",
"answer4": "Kẻ $EK$ vuông góc với $AC$. Ta có tứ giác $AHCK$ là hình chữ nhật. Do đó $\widehat{ABH}=\widehat{AHK}=\widehat{CKA}=\widehat{ACK}$.",
"answer5": "Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $IM || AB$, nên $\widehat{MBC}=\widehat{ABH}$. Tương tự, $IM || AC$ nên $\widehat{MCA}=\widehat{ACK}$. Như vậy, ta có $\widehat{MBC}=\widehat{MCA}$, tức $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$.",
"answer6": "Do tam giác $ABH$ vuông tại $H$ và tam giác $ACK$ vuông tại $K$, nên ta có $\widehat{ABH}=90^{\circ}-\widehat{BAH}$ và $\widehat{ACK}=90^{\circ}-\widehat{CAK}$. Vì $\widehat{A}<90^{\circ}$ nên $\widehat{ABH}>\widehat{ACK}$."
}