Bài tập 11 trang 86 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính liên tục của hàm...

Để kiểm tra tính liên tục của hàm số $f(x)$, ta cần xem xét sự liên tục của $f(x)$ tại các điểm giao nhau giữa hai miền xác định của hàm số.

Khi $x \geq 0$: $f(x)=\sqrt{x+4}$ là hàm căn thức có tập xác định là $(-4;+\infty)$. Do đó, $f(x)$ liên tục trên khoảng $(0;+\infty)$.

Khi $x < 0$: $f(x) = 2\cos x$ là hàm lượng giác với miền giá trị là $[-2, 2]$. Do đó, $f(x)$ liên tục trên khoảng $(-\infty;0)$.

Để kiểm tra tính liên tục tại $x = 0$, ta tính giới hạn sau:
$$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} 2\cos x = 2\cos 0 = 2,$$
$$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x+4} = \sqrt{0+4} = 2.$$
Vậy $\lim_{x \to 0} f(x) = 2 = f(0)$, suy ra $f(x)$ liên tục tại $x = 0$.

Do đó, hàm số $f(x)$ liên tục trên toàn bộ miền xác định, tức là $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.