Bài tập 4.13. Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ...

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của vectơ trong hình học không gian.
Đầu tiên, ta có:
- $\overrightarrow{DE} = -\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (1)
- $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{DC}$ (2)

Tiếp theo, sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
- $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EB}$ (3)
- $\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BD} = 2\overrightarrow{AD} - 2\overrightarrow{AD}$ (4)
- $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{AD} -\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (5)

Từ (1) và (3), suy ra:
$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BE}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

Từ (3) và (4), suy ra:
$\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AD} - 2(\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}- \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}) = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$

Từ (4) và (5), suy ra:
$\overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AD} - (\frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}) = -\frac{4}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$

Vậy các vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BE}$ lần lượt là:
- $\overrightarrow{AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$
- $\overrightarrow{BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow{BE}$
- $\overrightarrow{CA} = -\frac{4}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$