Bài tập 4.26. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).a) Tìm toạ độ của điểm E...

Phương pháp giải:

a) Để tìm toạ độ của điểm E sao cho vectơ $\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}$ có độ dài ngắn nhất, ta giả sử E(0; yE). Tính $\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{ED}$, sau đó tính tổng của chúng, rồi tính độ dài của vectơ đó và tìm giá trị nhỏ nhất. Để vectơ đó có độ dài ngắn nhất, ta cần giải phương trình đạo hàm của nó và tìm giá trị của yE.

b) Để tìm toạ độ của điểm F sao cho |$2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$| đạt giá trị nhỏ nhất, ta tương tự như trên, giả sử F(a; 0), tính $\overrightarrow{FC}$ và $\overrightarrow{FD}$, sau đó tính tổng của chúng, tính độ dài và tìm giá trị nhỏ nhất. Cũng cần giải phương trình đạo hàm để tìm giá trị của a.

c) Để tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện |$\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$| = CD, ta cần tính trị số CD, sau đó tìm trung điểm I của CD. Chứng minh rằng vector $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$ là bằng gấp đôi vector $\overrightarrow{MI}$ để tìm điểm M.

Câu trả lời:
a) Điểm E(0; 4) thỏa mãn yêu cầu.
b) Điểm F(7; 0) thỏa mãn yêu cầu.
c) Tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính R = $\sqrt{29}$.