Câu 53: trang 60 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước...

Phương pháp giải:

Giả sử \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\). Gọi độ dài của \(AM = x, 0 < x < a\). Khi đó \(MB = a - x\). Theo đề bài ta có tỉ lệ: \(\frac{AM}{AB} = \frac{MB}{AM} \Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{a - x}{x}\). Giải phương trình: \(x^2 = a(a - x) \Rightarrow x^2 + ax - a^2 = 0\). \(\Delta = a^2 + 4a^2 = 5a^2\). \(\sqrt{\Delta} = a\sqrt{5}\) \(\Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} x_1 = \frac{-a + a\sqrt{5}}{2} = \frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2} \\ x_2 = \frac{-a(\sqrt{5} + 1)}{2} \end{array} \right\). Vì \(x > 0\) nên \(x_2\) không thỏa mãn điều kiện. Vậy \(AM = \frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2}\).

Câu trả lời:

Tỉ số cần tìm là: \(\frac{AM}{AB} = \frac{\frac{a(\sqrt{5} - 1)}{2}}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}\). Đáp án là \(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\).