Bài tập 2 trang 56 toán lớp 11 tập 2 Chân trời:Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng $AB...

Để chứng minh rằng $AB \perp CD$ trong tứ diện đều ABCD, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC, AD.
2. Ta cần chứng minh rằng $MP \perp CD$ và $MN \perp AB$.
3. Với $MP \perp CD$: Ta có $MP // CD$ và $MP = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2}a$ (với a là độ dài cạnh của tứ diện).
4. Với $MN \perp AB$: Ta có $MN // AB$ và $MN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2}a$.
5. Ta có BP là trung tuyến của tam giác ABD đều, nên $BP = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
6. CP là trung tuyến của tam giác ACD đều, nên $CP = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
7. Suy ra tam giác BCP cân tại P, và do đó $PN \perp BC$.
8. Tính $NP = \sqrt{CP^{2} - CN^{2}} = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2} - (\frac{1}{2}a)^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$.
9. Tam giác MNP là tam giác vuông tại M với $MN^{2} + MP^{2} = NP^{2}$.
10. Do $MN // AB$, $MP // CD$, nên góc giữa AB và CD là góc giữa MN và MP và bằng $90^{o}$.
11. Vậy ta chứng minh được rằng $AB \perp CD$.