Bài tập 4.16 trang 55 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Cho tam giác ABC, các đường trung...

Để chứng minh MI = IK = KN, ta có thể sử dụng tính chất của đường trung tuyến và định lí Thalès.

Phương pháp giải:
1. Dựng đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC.
2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD.
3. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của MN với BD và CE.
4. Chứng minh rằng MN // BC và MN // ED.
5. Từ đó suy ra MI = IK = KN.

Câu trả lời:
Trong tam giác ABC, với đường trung tuyến BD, ta có D là trung điểm của AC và E là trung điểm của AB. Do đó, ta có ED // BC và $ED=\frac{1}{2}BC$.
Với M là trung điểm của BE, ta có $EM=MB=\frac{1}{2}EB=\frac{1}{4}AB$. Tương tự, với N là trung điểm của CD, ta có $NC=\frac{1}{4}AC$.
Ta có $\frac{MB}{AB}=\frac{NC}{AC}$, suy ra MN // BC (định lí Thalès đảo).
Khi đó, ta cũng có ED // MN // BC. Với DBDE, ta có M là trung điểm của EB nên MI // ED.
Từ đó suy ra I là trung điểm của BD, tức là IB = ID.
Tương tự, suy ra KN = $\frac{1}{2}ED$.
Cuối cùng, ta có IK = MK - MI = $\frac{1}{2}BC - \frac{1}{2}ED$ = $\frac{1}{2}ED$.
Vậy MI = IK = KN = $\frac{1}{2}ED$.