Bài tập 3. Cho tam giác ABC với toạ độ ba đỉnh là 4(1; 1), B(3; 1); C(1; 3). Tính độ dài đường cao...

Để tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC, ta cần tìm ra phương trình đường cao từ đỉnh A đến đoạn thẳng BC.

Phương trình tổng quát của đường thẳng BC có thể được tìm bằng cách sử dụng hai điểm B và C:
- Hệ số góc của đường thẳng BC: $m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{3 - 1}{1 - 3} = -1$
- Với m là hệ số góc, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng BC là: $y - y_C = m(x - x_C)$ hoặc $y - 3 = -1(x - 1)$

Để tìm đường cao AH, ta cần tìm giao điểm H giữa đường thẳng AH và đường thẳng BC. Ta tìm giao điểm H bằng cách giải hệ phương trình giữa đường thẳng AH và BC. Đường thẳng AH đi qua điểm A(1, 1) và vuông góc với đường thẳng BC, do đó hệ phương trình giữa đường thẳng AH và BC là:
- Đường thẳng AH: $y - y_A = -\frac{1}{m}(x - x_A)$ hoặc $y - 1 = -\frac{1}{-1}(x - 1)$
- Giai hệ phương trình giữa đường thẳng AH và BC để tìm giao điểm H là:

$\begin{cases}y = -x + 2 \\y = x + 2 \end{cases} => H(0; 2)$

Do đó, độ dài đường cao AH là $AH = \sqrt{(1 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{2}$.

Vậy, độ dài đường cao AH của tam giác ABC là $\sqrt{2}$.